W2. Скалярное произведение, ортогональность и проекции

Quiz | Flashcards

1. Краткое содержание

1.1 Скалярное произведение как аксиомы

Скалярное произведение (inner product) — обобщение: функция \(\langle\cdot,\cdot\rangle\), линейная по первому аргументу (в вещественном случае симметричная), положительно определённая. Стандартное dot product в \(\mathbb{R}^n\) — главный пример. Для любых \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) и скаляра \(c\):

1. Симметрия: \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle\).
2. Линейность по первому аргументу: \(\langle c\vec{u}, \vec{v} \rangle = c\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\).
3. Аддитивность: \(\langle \vec{u} + \vec{w}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle + \langle \vec{w}, \vec{v} \rangle\).
4. Положительная определённость: \(\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \ge 0\) и \(\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0 \iff \vec{v} = \vec{0}\).

Пространство со скалярным произведением — евклидово / унитарное в общем случае; здесь — inner product space над \(\mathbb{R}\).

1.2 Dot product

Скалярное произведение (dot product) — стандартный способ получить число из двух векторов в \(\mathbb{R}^n\); есть алгебраическая и геометрическая формы.

1.3 Алгебраическое определение

Для \(\vec{u}=(u_1,\dots,u_n)\), \(\vec{v}=(v_1,\dots,v_n)\): \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]

1.4 Геометрия и теорема косинусов

\[ \vec{v} \cdot \vec{w} = ||\vec{v}||\,||\vec{w}||\cos(\theta) \] Вывод из теоремы косинусов для треугольника со сторонами \(\vec{v},\vec{w},\vec{v}-\vec{w}\) и равенства \(||\vec{v}-\vec{w}||^2=(\vec{v}-\vec{w})\cdot(\vec{v}-\vec{w})\).

Знак \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) говорит об угле: \(>0\) — острый, \(<0\) — тупой, \(=0\) — прямой (\(90^\circ\)).

1.5 Ортогональность

\(\vec{v}\perp\vec{w} \iff \vec{v}\cdot\vec{w}=0\) (для ненулевых — перпендикулярность).

1.6 Норма и её свойства

Индуцированная норма: \(||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\). Свойства: неотрицательность, норма нуля, однородность \(|c|\,||\vec{v}||\), неравенство треугольника (triangle inequality).

1.7 Неравенства и тождества

• Коши–Буняковского (Cauchy–Schwarz): \(|\vec{v}\cdot\vec{w}|\le||\vec{v}||\,||\vec{w}||\).
• Теорема о параллелограмме (parallelogram law): \(||\vec{a}+\vec{b}||^2+||\vec{a}-\vec{b}||^2=2(||\vec{a}||^2+||\vec{b}||^2)\).

1.8 Проекции

1.8.1 Скалярная компонента

Скалярная проекция (scalar projection): \[ \text{comp}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||} \]

1.8.2 Векторная проекция

Векторная проекция (vector projection): \[ \text{proj}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \left( \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2} \right) \vec{w} \]

1.9 Разложение вектора

\(\vec{v}=\vec{v}_{||}+\vec{v}_\perp\), где \(\vec{v}_{||}=\text{proj}_{\vec{w}}(\vec{v})\), \(\vec{v}_\perp=\vec{v}-\vec{v}_{||}\).

1.10 Направляющие косинусы

Для \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) углы \(\alpha,\beta,\gamma\) с осями; \(\cos\alpha=a_1/||\vec{a}||\) и т.д.; \[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 \]

---

2. Определения

• Inner product / скалярное произведение: функция «два вектора → число» с аксиомами.
• Inner product space: векторное пространство со скалярным произведением.
• Dot product: \(\sum u_i v_i\).
• Ортогональность: \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\).
• Норма: \(||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\).
• Скалярная проекция: знаковая длина компоненты вдоль \(\vec{w}\).
• Векторная проекция: «тень» \(\vec{v}\) на направление \(\vec{w}\).
• Коши–Буняковский, неравенство треугольника, параллелограмм — как в английской версии.

---

3. Формулы

• Алгебраическое dot product: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]
• Геометрическое: \[ \vec{v} \cdot \vec{w} = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cos(\theta) \]
• \(\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
• \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
• \(\vec{v} \cdot \vec{v} = ||\vec{v}||^2\)
• \(||\vec{v}|| = \sqrt{v_1^2 + \dots + v_n^2}\)
• \(\cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}||}\)
• Ортогональность: \(\vec{v} \cdot \vec{w} = 0\)
• Проекция: \[ \text{proj}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \left( \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2} \right) \vec{w} \]
• Компонента: \[ \text{comp}_{\vec{w}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||} \]
• Разложение: \(\vec{v} = \vec{v}_{||} + \vec{v}_{\perp}\)
• Параллелограмм: \(||\vec{a} + \vec{b}||^2 + ||\vec{a} - \vec{b}||^2 = 2(||\vec{a}||^2 + ||\vec{b}||^2)\)
• Направляющие косинусы и тождество — как в EN.

---

4. Примеры

4.1. Значение выражения (Лаба 2, Задание 1)

Вычислите \(|\vec{a}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - 7|\vec{b}|^2\), если \(|\vec{a}|=4\), \(|\vec{b}|=1\), \(\angle(\vec{a},\vec{b})=150^\circ\).

Показать решение

\(\cos150^\circ=-\sqrt3/2\), \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\sqrt3\); подстановка даёт \(16+12-7=21\).

Ответ: \(21\).

4.2. Угол между векторами (Лаба 2, Задание 2)

Угол между \(\vec{a}=[1,-1,1]^T\) и \(\vec{b}=[-5,-1,-1]^T\).

Показать решение

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=-5\), \(|\vec{a}|=\sqrt3\), \(|\vec{b}|=3\sqrt3\), \(\cos\theta=-5/9\).

Ответ: \(\theta=\arccos(-5/9)\approx123.75^\circ\).

4.3. Перпендикулярность (Лаба 2, Задание 3)

Докажите, что \(\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})\) ортогонален \(\vec{a}\).

Показать решение

Скалярно умножить на \(\vec{a}\) и раскрыть — получится разность двух равных слагаемых, то есть \(0\).

Ответ: скалярное произведение с \(\vec{a}\) равно \(0\) — векторы перпендикулярны.

4.4. Сумма скалярных произведений (Лаба 2, Задание 4)

\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=3\) и \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\). Найдите \(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}\).

Показать решение

Квадрат суммы даёт \(27+2S=0\), \(S=-13.5\).

Ответ: \(-13.5\).

4.5. Неизвестный вектор (Лаба 2, Задание 5)

\(\vec{a}=[1,-1,1]^T\), \(\vec{b}=[-5,-1,-1]^T\) (в условии на EN-странице \(\vec{b}\) указан неполностью; в решении используется эта тройка). \(|\vec{c}|=1\), \(\vec{c}\perp\vec{a}\), угол \((\vec{b},\vec{c})\) равен \(\arccos\sqrt{2/27}\). Найдите \(\vec{c}\) и число решений.

Показать решение

Система на компоненты \((x,y,z)\) даёт две допустимые точки на сфере и плоскости — два решения, как в EN-разборе: \((0,\sqrt2/2,\sqrt2/2)\) и \((5\sqrt2/14,-3\sqrt2/14,-4\sqrt2/7)\).

Ответ: две точки, указанные выше.

4.6. Dot product в \(\mathbb{R}^3\) (Лекция 2, Пример 1)

\(\vec{u}=(1,-2,4)\), \(\vec{v}=(3,0,-5)\).

Показать решение

\(3+0-20=-17\).

Ответ: \(-17\).

4.7. «Сокращение» dot product (Лекция 2, Пример 2)

Из \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) для ненулевых векторов следует ли \(\vec{b}=\vec{c}\)?

Показать решение

\(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0\) — лишь ортогональность, не равенство. Контрпример на плоскости: \(\vec{a}=(1,0)\), \(\vec{b}=(0,5)\), \(\vec{c}=(0,10)\).

Ответ: нет.

4.8. Линейность dot product (Лекция 2, Пример 3)

При \(\vec{a}\cdot\vec{b}=4\), \(\vec{a}\cdot\vec{c}=-2\), \(||\vec{a}||=1\) найдите \(\vec{a}\cdot(3\vec{b})\).

Показать решение

\(\vec{a}\cdot(3\vec{b})=3(\vec{a}\cdot\vec{b})=12\).

Ответ: \(12\).

4.9. Дистрибутивность (Лекция 2, Пример 4)

Те же данные; найдите \(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})\).

Показать решение

\(4+(-2)=2\).

Ответ: \(2\).

4.10. Квадрат нормы (Лекция 2, Пример 5)

Те же данные; найдите \(\vec{a}\cdot(4\vec{a})\).

Показать решение

\(4||\vec{a}||^2=4\).

Ответ: \(4\).

4.11. Параллелограмм (Лекция 2, Пример 6)

Упростите \(||\vec{a}-\vec{b}||^2+||\vec{a}+\vec{b}||^2\).

Показать решение

Раскрыть скалярные квадраты — получится \(2||\vec{a}||^2+2||\vec{b}||^2\).

Ответ: \(2||\vec{a}||^2+2||\vec{b}||^2\).

4.12. Угол на плоскости (Лекция 2, Пример 7)

Угол между \((3,-1)\) и \((2,4)\).

Показать решение

\(\cos\theta=1/\sqrt{50}\), \(\theta\approx81.87^\circ\).

4.13. Ортогональность на плоскости (Лекция 2, Пример 8)

Ортогональны ли \((2,-3)\) и \((3,2)\)?

Показать решение

Скалярное произведение \(0\).

Ответ: ортогональны.

4.14. Ортогональность в \(\mathbb{R}^3\) (Лекция 2, Пример 9)

Ортогональны ли \((1,4,-2)\) и \((0,1,2)\)?

Показать решение

Скалярное произведение \(0\).

Ответ: ортогональны.

4.15. Проверка ортогональности (Лекция 2, Пример 10)

Ортогональны ли \((1,1)\) и \((2,2)\)?

Показать решение

Скалярное произведение \(4\neq0\).

Ответ: не ортогональны.

4.16. Векторная проекция (Лекция 2, Пример 11)

\(\text{proj}_{(4,0)}(5,3)\).

Показать решение

Ответ: \((5,0)\).

4.17. Угол \(\angle ABC\) (Туториал 2, Задание 1)

\(A(1,2)\), \(B(3,-1)\), \(C(-2,1)\).

Показать решение

\(\vec{BA}=(-2,3)\), \(\vec{BC}=(-5,2)\), \(\cos\theta=16/\sqrt{377}\), \(\theta\approx34.55^\circ\).

4.18. Параметр ортогональности (Туториал 2, Задание 2)

Найдите \(x\), если \((x,-1,3)\perp(x,5,1)\).

Показать решение

\(x^2-2=0\).

Ответ: \(x=\pm\sqrt2\).

4.19. Тождество направляющих косинусов (Туториал 2, Задание 3)

Докажите \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\).

Показать решение

\(\cos\alpha=a_1/||\vec{a}||\) и циклически; сумма квадратов даёт \(||\vec{a}||^2/||\vec{a}||^2=1\).

4.20. Теорема косинусов (Туториал 2, Задание 4)

Докажите \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta\) для треугольника.

Показать решение

Представить сторону как разность двух векторов, возвести в квадрат через dot product.

4.21. Проекция (Туториал 2, Задание 5)

\(\text{proj}_{(2,2)}(4,3)\).

Показать решение

Ответ: \((7/2,7/2)\).

4.22. Скалярная компонента (Туториал 2, Задание 6)

\(\text{comp}_{(2,1,-2)}(1,-2,4)\).

Показать решение

Ответ: \(-8/3\).

4.23. Разложение вектора (Туториал 2, Задание 7)

Разложите \((5,1,-3)\) на параллельную и перпендикулярную части относительно \((1,2,2)\).

Показать решение

\(\vec{a}_\parallel=(1/9,2/9,2/9)\), \(\vec{a}_\perp=(44/9,7/9,-29/9)\).

4.24. Медиана и dot product (Домашнее задание 2, Задание 1)

В \(\triangle ABC\) медиана \(AD\) делится точками \(E,F\) на три равные части; \(\vec{BA}\cdot\vec{CA}=4\), \(\vec{BF}\cdot\vec{CF}=-1\). Найдите \(\vec{BE}\cdot\vec{CE}\).

Показать решение

В базисе \(\vec{AB}=\mathbf{b}\), \(\vec{AC}=\mathbf{c}\) получаем \(|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{c}|^2=29/2\) и искомое произведение \(7/8\).

Ответ: \(7/8\).